Gaussian i Parabola proučavaju LED svjetlosne tokove eksperimentalne lampe: 6 koraka

2024 Autor: John Day | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-30 08:04

Pozdrav svim proizvođačima i užurbanoj zajednici Instructable.

Ovog puta Merenel Research donijet će vam čisti istraživački problem i način da ga riješite matematikom.

I sam sam imao ovaj problem dok sam računao LED tokove LED RGB LED lampe koju sam izgradio (i koju ću naučiti kako se gradi). Nakon opsežnog pretraživanja na internetu nisam našao odgovor, pa ovdje objavljujem rješenje.

PROBLEM

Vrlo često se u fizici moramo baviti krivuljama koje imaju oblik Gaussove distribucije. Da! To je zvonasta krivulja koja se koristi za izračunavanje vjerojatnosti, a koju nam je donio veliki matematičar Gauss.

Gaussova krivulja se naširoko koristi u fizičkim aplikacijama u stvarnom životu, posebno kada se moramo baviti zračenjem koje se širi iz izvora ili prima iz prijemnika, na primjer:

- emitovanje snage radio signala (npr. Wi-Fi);

- svjetlosni tok koji emitira LED dioda;

- očitavanje fotodiode.

U proizvođačkom listu s podacima često nam se daje stvarna vrijednost područja Gaussove površine, što bi bila ukupna snaga zračenja ili svjetlosni tok u određenom dijelu spektra (npr. LED), ali postaje teško izračunati stvarno zračenje emitiraju na vrhuncu krivulje ili je još teže znati preklapanje zračenja dva bliska izvora, na primjer ako osvjetljavamo s više od LED diode (npr. plava i zelena).

U ovom uputstvu za objašnjenje objasnit ću vam kako aproksimirati Gaussovu krivulju koju je lakše shvatiti: parabolu. Odgovorit ću na pitanje: koliko je Gaussovih krivulja u paraboli?

SPOJLER → ODGOVOR JE:

Gaussovo područje je uvijek 1 jedinica.

Površina odgovarajuće parabole s istom osnovom i visinom 2,13 puta je veća od relativne Gaussove površine (pogledajte sliku za grafičku demonstraciju).

Dakle, Gaussian čini 46,94% svoje parabole i ovaj odnos je uvijek istinit.

Ova dva broja su povezana na ovaj način 0.46948 = 1/2.13, ovo je stroga matematička veza između Gaussove krive i njene parabole i obrnuto.

U ovom vodiču ću vas navesti da otkrijete ovaj korak po korak.

Jedini instrument koji će nam trebati je Geogebra.org, sjajan online matematički alat za crtanje grafikona.

Geogebrina karta koju sam napravio za usporedbu parabole s Gausovom može se pronaći na ovoj poveznici.

Ovo uputstvo je dugo jer se radi o demonstraciji, ali ako morate brzo riješiti isti problem koji sam imao sa LED svjetlosnim tokovima, ili neki drugi fenomen s preklapanjem Gaussovih krivulja, samo skočite u proračunsku tablicu koju ćete pronaći u prilogu u koraku 5 ovog vodiča, koji će vam olakšati život i automatski izvršiti sve proračune umjesto vas.

Nadam se da vam se sviđa primijenjena matematika jer je ovo uputstvo o tome.

Korak 1: Razumevanje svetlosti koja se emituje od monohromatske LED diode

U ovoj analizi razmotrit ću niz obojenih LED dioda, kao što jasno vidite iz njihove tabele spektra (prva slika), njihova spektralna raspodjela snage zaista izgleda kao Gaussova koja konvergira u os x na -33 i +33nm od srednje vrijednosti (proizvođači obično daje ove specifikacije). Međutim, uzmite u obzir da prikaz ove tabele normalizira sve spektre na jednoj jedinici napajanja, ali LED diode imaju različitu snagu ovisno o tome koliko se efikasno proizvode i koliko električne struje (mA) u njih unosite.

Kao što možete vidjeti, ponekad se svjetlosni tok dviju LED preklapa na spektru. Recimo da lako želim izračunati područje preklapanja tih krivulja, jer će u tom području biti dvostruka količina snage i želim znati koliko snage u lumenima (lm) imamo tamo, pa to nije jednostavan zadatak na koji ćemo pokušati odgovoriti u ovom vodiču. Problem je nastao jer sam prilikom izgradnje eksperimentalne lampe zaista želio znati koliko se plavi i zeleni spektar preklapaju.

Usredotočit ćemo se samo na jednobojne LED diode koje emitiraju na uskom dijelu spektra. Na grafikonu: ROJALNO PLAVO, PLAVO, ZELENO, NARANČASTO-CRVENO, CRVENO. (Stvarna lampa koju gradim je RGB)

POZADINA FIZIKE

Hajdemo malo unatrag i prvo malo objasniti fiziku.

Svaka LED dioda ima boju, ili znanstvenije bismo rekli da ima valnu duljinu (λ) koja je određuje i koja se mjeri u nanometrima (nm) i λ = 1/f, gdje je f frekvencija osciliranja fotona.

Dakle, ono što nazivamo CRVENIM je u osnovi (velika) gomila fotona koji osciliraju na 630nm, ti fotoni udaraju u materiju i odbijaju se u naše oči, koji djeluju kao receptori, a zatim vaš mozak obrađuje boju objekta kao CRVENO; ili bi vam fotoni mogli direktno ući u oči i vidjeli biste LED koji ih emitira kako svijetle u CRVENOJ boji.

Otkriveno je da je ono što nazivamo svjetlošću zapravo samo mali dio elektromagnetskog spektra, između 380nm i 740nm; pa je svjetlost elektromagnetski val. Ono što je zanimljivo u vezi s tim dijelom spektra je da upravo dio spektra lakše prolazi kroz vodu. Pogodi šta? Naši stari preci iz iskonske juhe bili su u vodi, a u vodi su prva, složenija živa bića počela razvijati oči. Predlažem vam da pogledate video zapis Kurzgesagta koji sam priložio kako biste bolje razumjeli šta je svjetlost.

Ukratko, LED emitira svjetlost, koja je određena količina radiometrijske snage (mW) na određenoj valnoj duljini (nm).

Obično, kada imamo posla s vidljivom svjetlošću, ne govorimo o radiometrijskoj snazi (mW), već o svjetlosnom toku (lm), koji je mjerna jedinica koja se mjeri kao odgovor na vidljivu svjetlost ljudskih očiju, ona proizlazi iz kandela jedinica mjere, a mjeri se u lumenima (lm). U ovoj prezentaciji razmotrit ćemo lumene koji emitiraju LED diode, ali sve će se primjenjivati na mW u istoj mjeri.

U bilo kojem LED listu s podacima proizvođač će vam dati sljedeće podatke:

Na primjer, iz priloženog lista s podacima vidite da ako napajate oba LED -a sa 100mA imate to:

PLAVA je na 480nm i ima 11lm svjetlosnog toka;

GREEN je na 530nm i ima 35lm svjetlosnog toka.

To znači da će Gaussova kriva plave biti viša, više će se povećati, bez mijenjanja širine i oscilirat će oko dijela omeđenog plavom linijom. U ovom članku ću objasniti kako izračunati visinu Gauss -a koja izražava punu vršnu snagu koju emitira LED, a ne samo snagu emitiranu u tom dijelu spektra, nažalost ta će vrijednost biti niža. Nadalje, pokušat ću približiti preklapajući dio dviju LED dioda kako bih razumio koliko se svjetlosni tok preklapa kada imamo posla sa LED diodama koje su "susjedi" u spektru.

Mjerenje protoka LED dioda vrlo je složena stvar, ako želite znati više, postavio sam detaljan rad Osrama koji objašnjava kako se stvari rade.

Korak 2: Uvod u Parabolu

Neću ulaziti u detalje o tome šta je parabola jer se opsežno proučava u školi.

Jednadžba parabole može se napisati u sljedećem obliku:

y = ax^2+bx+c

ARHIMED NAS POMAŽE

Ono što bih želio naglasiti je važna Arhimedova geometrijska teorema. Ono što teorema kaže je da je površina parabole ograničena u pravokutniku jednaka 2/3 površine pravokutnika. Na prvoj slici s parabolom možete vidjeti da je plava površina 2/3, a ružičaste površine 1/3 površine pravokutnika.

Možemo izračunati parabolu i njenu jednadžbu poznavajući tri tačke parabole. U našem slučaju izračunat ćemo tjeme i znamo sjecišta s osi x. Na primjer:

PLAVI LED Vertex (480,?) Y vrha je jednak svjetlosnoj snazi koja se emituje na vršnoj talasnoj dužini. Za njegovo izračunavanje upotrijebit ćemo odnos koji postoji između područja Gaussova (stvarni tok koji emitira LED) i onog parabole, a mi ćemo upotrijebiti Arhimedovu teoremu da saznamo visinu pravokutnika koji sadrži tu parabolu.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLSKI MODEL

Gledajući sliku koju sam postavio možete vidjeti složeni model koji parabolama predstavlja nekoliko različitih LED svjetlosnih tokova, ali znamo da njihova reprezentacija nije baš takva jer više liči na Gaussovu.

Međutim, s parabolama, koristeći matematičke formule, možemo pronaći sve točke presjeka nekoliko parabola i izračunati površine koje se sijeku.

U koraku 5 priložio sam proračunsku tablicu u koju sam stavio sve formule za izračunavanje svih parabola i njihovih presjeka monohromatskih LED dioda.

Obično je osnova Gaussove LED diode velika 66 nm, pa ako znamo dominantnu valnu duljinu i aproksimiramo LED zračenje parabolom, znamo da će relativna parabola presijecati os x u λ+33 i λ-33.

Ovo je model koji približava LED ukupno emitovano svjetlo sa parabolom. Ali znamo da ako želimo biti precizni to nije baš točno, morali bismo koristiti Gaussove krivulje, što nas dovodi do sljedećeg koraka.

Korak 3: Uvod u Gaussovu krivulju

Gaussova je to krivulja koja će zvučati složenije od parabole. Gauss ga je izumio za tumačenje grešaka. U stvari, ova krivulja je vrlo korisna za vidjeti vjerojatnu distribuciju fenomena. Što se krećemo lijevo ili desno od srednje vrijednosti, određeni fenomen je rjeđi i kao što možete vidjeti na posljednjoj slici ova krivulja je vrlo dobra aproksimacija stvarnih događaja.

Gaussova formula je zastrašujuća koju vidite kao drugu sliku.

Gausova svojstva su:

- simetrično je u odnosu na srednju vrijednost;

- x = μ ne samo da se podudaraju s aritmetičkom sredinom, već i sa medijanom i modom;

- asimptotičan je na osi x sa svake strane;

- smanjuje se za xμ;

- ima dvije tačke pregiba u x = μ-σ;

- površina ispod krive je 1 jedinica (vjerovatnoća da će bilo koji x provjeriti)

σ je standardna devijacija, što je veći broj, to je šira Gaussova baza (prva slika). Ako je vrijednost u dijelu 3σ, znali bismo da se zaista odmiče od srednje vrijednosti i da je manja vjerojatnost da se to dogodi.

U našem slučaju, sa LED diodama, znamo područje Gaussova svjetlosnog toka danog u proizvođačkoj specifikaciji na danom vrhuncu valne duljine (što je srednja vrijednost).

Korak 4: Demonstracija pomoću Geogebre

U ovom odjeljku ću vam objasniti kako pomoću Geogebre dokazati da je parabola 2,19 puta veća od njene Gaussove.

Prvo morate stvoriti nekoliko varijabli, klikom na naredbu klizača:

Standardna devijacija σ = 0,1 (standardna devijacija definira koliko je široka Gaussova krivulja, stavio sam malu vrijednost jer sam želio smanjiti je simulirati LED spektralnu distribuciju snage)

Srednja vrijednost je 0 pa je Gaussian izgrađen na osi y, gdje je lakše raditi.

Kliknite na funkciju malih valova za aktiviranje odjeljka funkcija; tamo klikom na fx možete umetnuti Gaussovu formulu i vidjet ćete kako se na ekranu pojavljuje lijepa visoka Gaussova krivulja.

Grafički ćete vidjeti gdje krivulja konvergira na osi x, u mom slučaju u X1 (-0,4; 0) i X2 (+0,4; 0) i gdje je vrh u V (0; 4).

S ove tri točke imate dovoljno informacija da pronađete jednadžbu parabole. Ako ne želite ručno izračunavati, slobodno upotrijebite ovu web stranicu ili proračunsku tablicu u sljedećem koraku.

Pomoću naredbe function (fx) popunite funkciju parabole koju ste upravo pronašli:

y = -25x^2 +4

Sada moramo razumjeti koliko je Gaussovaca u paraboli.

Morat ćete koristiti naredbu function i umetnuti naredbu Integral (ili Integrale u mom slučaju, kao što sam koristio talijansku verziju). Određeni integral je matematička operacija koja nam omogućuje izračunavanje površine funkcije definirane između x vrijednosti. Ako se ne sjećate što je definitivni integral, pročitajte ovdje.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Ova formula Geogebre rješava definirani integral između -0,4 i +0,4 funkcije f, Gaussove. Kako imamo posla s Gaussom, njegova površina je 1.

Učinite isto za parabolu i otkrit ćete čarobni broj 2.13. Koji je ključni broj za sve pretvorbe svjetlosnog toka pomoću LED dioda.

Korak 5: Primjer iz stvarnog života sa LED diodama: Izračunavanje vrha fluksa i preklapanja fluksa

Svijetli fluks na vrhu

Izračunati stvarnu visinu promiješanih Gaussovih krivulja distribucije LED toka, sada kada smo otkrili faktor konverzije 2,19, vrlo je jednostavno.

na primjer:

PLAVA LED dioda ima 11lm svjetlosnog toka

- ovaj tok pretvaramo iz Gaussova u parabolički 11 x 2,19 = 24,09

- koristimo Arhimedovu teoremu za izračunavanje relativne površine pravokutnika koja sadrži parabolu 24,09 x 3/2 = 36,14

- nalazimo visinu tog pravokutnika koji se dijeli na osnovu Gaussove za PLAVU LED diodu, dano u tehničkom listu ili vidljivo na tabeli s podacima, obično oko 66 nm, a to je naša snaga na vrhuncu od 480 nm: 36,14 / 66 = 0.55

PODRUČJA PREKRASAJUĆIH SVJETLOSNIH FLUKSA

Za izračun dva zračenja koja se preklapaju objasnit ću na primjeru sa sljedeće dvije LED diode:

PLAVI je na 480nm i ima 11lm svjetlosnog toka ZELENI je na 530nm i ima 35lm svjetlosnog toka

Znamo i vidimo iz grafikona da se obje Gaussove krivulje konvergiraju u -33nm i +33nm, stoga znamo da:

- PLAVO presijeca x os u 447nm i 531nm

- ZELENO presijeca x os u 497nm i 563nm

Jasno vidimo da se dvije krivulje sijeku jer se jedan kraj prve nalazi iza početka druge (531nm> 497nm) pa se svjetlost ove dvije LED diode preklapa u nekim točkama.

Prvo moramo izračunati jednadžbu parabole za oboje. Priložena proračunska tablica je tu da vam pomogne u proračunima, a ugradila je formule za rješavanje sistema jednadžbi za određivanje dviju parabola znajući točke x osi koje se sijeku i vrh:

PLAVA parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ZELENA parabola: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

u oba slučaja a> 0 i, pa je parabola ispravno okrenuta naopako.

Da biste dokazali da su ove parabole ispravne, samo popunite a, b, c u kalkulatoru tjemena na ovoj web stranici kalkulatora parabole.

Na proračunskoj tablici je već uračunato računanje da bi se pronašle točke sjecišta parabola i da bi se izračunao definitivni integral kako bi se dobila presječna područja tih parabola.

U našem slučaju, područje presjeka plavog i zelenog LED spektra je 0,4247.

Kada dobijemo parabole koje se sijeku, možemo pomnožiti ovu novoosnovanu površinu koja se siječe za Gaussov množitelj 0.4694 i pronaći vrlo blisku aproksimaciju ukupne snage koju LED diode ukupno emitiraju u tom dijelu spektra. Da biste pronašli pojedinačni LED tok koji se emitira u tom odjeljku, samo podijelite s 2.

Korak 6: Studija monohromatskih LED dioda eksperimentalne lampe je sada završena

Pa, hvala vam puno što ste pročitali ovo istraživanje. Nadam se da će vam biti od koristi da dublje shvatite kako se svjetlost emitira iz lampe.

Proučavao sam tokove LED dioda posebne lampe napravljene sa tri vrste monohromatskih LED dioda.

"Sastojci" za izradu ove lampe su:

- 3 LED BLU

- 4 LED ZELENA

- 3 LED CRVENE

- 3 otpornika za ograničavanje struje u granama LED kruga

- Napajanje 12V 35W

- Reliefni akrilni omot

- OSRAM OT BLE DIM kontrola (Bluetooth LED kontrolna jedinica)

- Aluminijumski hladnjak

- podebljane matice M5 i L zagrade

Kontrolirajte sve pomoću aplikacije Casambi sa svog pametnog telefona, možete uključiti i zatamniti svaki LED kanal zasebno.

Izrada lampe je vrlo jednostavna:

- pričvrstite LED diodu na hladnjak dvostranom trakom;

- lemite svu BLU LED seriju u otpornik, a isto učinite i s drugom bojom za svaku granu kruga. U skladu s LED diodama koje ćete odabrati (koristio sam Lumileds LED) morat ćete odabrati veličinu otpornika u odnosu na to koliko ćete struje unijeti u LED i na ukupni napon koji daje napajanje od 12V. Ako ne znate kako to učiniti, predlažem vam da pročitate ovo sjajno uputstvo o tome kako odrediti veličinu otpornika kako biste ograničili struju niza LED dioda.

-spojite žice na svaki kanal Osram OT BLE: sav glavni pozitivni dio grana LED dioda ide na zajednički (+), a tri negativne grane idu na -B (plavo) -G (zeleno) -R (crveno).

- Priključite napajanje na ulaz Osram OT BLE.

Ono što je super kod Osram OT BLE -a je to što možete kreirati scenarije i programirati LED kanale, kao što možete vidjeti u prvom dijelu videa zatamnjujem tri kanala, a u drugom dijelu videa koristim neke unapred napravljeni svetlosni scenariji.

ZAKLJUČCI

Opširno sam koristio matematiku da bih duboko razumio kako će se fluksi ovih svjetiljki širiti.

Zaista se nadam da ste danas naučili nešto korisno i potrudit ću se da dovedem do poučnih slučajeva dubljih primijenjenih istraživanja poput ovog.

Istraživanje je ključ!

Tako dugo!

Pietro