Brachistochrone krivulja: 18 koraka (sa slikama)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-30 08:06

Brahistohronova krivulja klasičan je fizički problem koji izvodi najbrži put između dvije točke A i B koje se nalaze na različitim nadmorskim visinama. Iako se ovaj problem može činiti jednostavnim, nudi kontra-intuitivan rezultat i stoga ga je fascinantno gledati. U ovim instrukcijama će se naučiti o teorijskom problemu, razviti rješenje i konačno izgraditi model koji demonstrira svojstva ovog zadivljujućeg principa fizike.

Ovaj projekt je namijenjen učenicima srednjih škola koji pokrivaju povezane koncepte na satovima teorije. Ovaj praktični projekt ne samo da jača njihovo razumijevanje teme, već nudi i sintezu nekoliko drugih područja za razvoj. Na primjer, dok grade model, studenti će učiti o optici kroz Snell -ov zakon, računarsko programiranje, 3d modeliranje, digitalno fragiranje i osnovne vještine obrade drveta. Ovo omogućava cijelom razredu da doprinese podjeli posla, čineći to timskim radom. Vrijeme potrebno za izradu ovog projekta je oko sedmicu dana, a zatim se može pokazati razredu ili mlađim učenicima.

Ne postoji bolji način učenja od STEM -a, pa nastavite sa izradom vlastitog radnog brahistohronskog modela. Ako vam se projekat sviđa, glasajte za njega na takmičenju za učionicu.

Korak 1: Teorijski problem

Problem brahistohrona je onaj koji se vrti oko pronalaska krivulje koja spaja dvije točke A i B koje su na različitim nadmorskim visinama, tako da B nije izravno ispod A, tako da će ispuštanje mramora pod utjecajem jednolikog gravitacijskog polja duž ove staze doći do B u najkraćem mogućem vremenu. Problem je postavio Johann Bernoulli 1696.

Kada je Johann Bernoulli pitao problem brahistohrona, juna 1696. godine, čitaocima Acta Eruditorum, koji je bio jedan od prvih naučnih časopisa u zemljama njemačkog govornog područja u Evropi, dobio je odgovore od 5 matematičara: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus i Guillaume de l'Hôpital, svaki sa jedinstvenim pristupom!

Upozorenje: sljedeći koraci sadrže odgovor i otkrivaju ljepotu ovog najbržeg puta. Odvojite trenutak da pokušate razmisliti o ovom problemu, možda biste ga mogli riješiti baš kao jedan od ovih pet genija.

Korak 2: Upotreba Snellovog zakona za demonstraciju

Jedan od pristupa rješavanju problema brahistohrona je rješavanje problema povlačenjem analogija sa Snellovim zakonom. Snellov zakon se koristi za opisivanje putanje koju bi snop svjetlosti slijedio da bi prešao od jedne do druge točke pri prelasku kroz dva različita medija, koristeći Fermatov princip, koji kaže da će snop svjetlosti uvijek ići najbržim putem. Formalni izvod ove jednadžbe možete pronaći ako posjetite sljedeću vezu.

Budući da se objekt koji slobodno pada pod utjecajem gravitacijskog polja može usporediti s snopom svjetlosti koji prelazi kroz promjenjivi medij, svaki put kad snop svjetlosti naiđe na novi medij, snop se lagano odstupa. Ugao ovog odstupanja može se izračunati pomoću Snellovog zakona. Kako se nastavlja dodavati slojeve smanjene gustoće ispred odstupljenog snopa svjetlosti, sve dok snop ne dosegne kritični kut, gdje se snop jednostavno reflektira, putanja snopa opisuje brahistohronsku krivulju. (crvena kriva na gornjem dijagramu)

Brahistohronska krivulja je u stvari cikloida koja je krivulja praćena točkom na rubu kružnog kotača dok se kotač kotrlja po ravnoj liniji bez klizanja. Stoga, ako trebamo nacrtati krivulju, možemo jednostavno upotrijebiti gornju metodu za njezino generiranje. Još jedno jedinstveno svojstvo krivulje je da će lopti oslobođenoj s bilo koje točke krivulje trebati potpuno isto vrijeme da dosegne dno. Sljedeći koraci opisuju proces stvaranja eksperimenta u učionici konstrukcijom modela.

Korak 3: Model praktičnog eksperimenta

Model se sastoji od laserski izrezanih staza koje djeluju kao tragovi za klikere. Kako bismo pokazali da je brahistohronska krivulja najbrži put od točke A do B, odlučili smo je uporediti s dvije druge staze. Kako bi mali broj ljudi intuitivno osjetio da je najkraći dio najbrži, odlučili smo kao drugu stazu postaviti ravnu padinu koja povezuje obje točke. Treća je strma krivulja, jer bi se činilo da bi iznenadni pad generirao dovoljno brzine da nadmaši ostale.

Drugi eksperiment u kojem se kugle oslobađaju s različitih visina na tri brahistohronske staze rezultira istodobnim dosezanjem loptica. Tako naš model sadrži 3D štampane vodiče koji omogućuju laku zamjenu između akrilnih ploča omogućavajući oba eksperimenta.

Konačno, mehanizam za oslobađanje osigurava da se kuglice spuste zajedno, a modul za mjerenje vremena na dnu bilježi mjerenje vremena kada kuglice dosegnu dno. Da bismo to postigli, ugradili smo tri krajnja prekidača koji se aktiviraju kada ih kuglice aktiviraju.

Napomena: Ovaj dizajn možete jednostavno kopirati i napraviti od kartona ili drugih materijala koji su lako dostupni

Korak 4: Potrebni materijali

Evo dijelova i potrošnog materijala za izradu radnog modela eksperimenta s brahistohronom

HARDVER:

1 "Daska od borovog drveta - dimenzije; 100cm x 10cm

Neodimij Magnetx 4 - dimenzije; Prečnik 1 cm i visina 0,5 cm

Filament za 3D štampanje- PLA ili ABS su u redu

M3 umetci s navojem x 8 - (opcionalno)

M3 vijak x 8 - 2,5 cm dug

Drveni vijak dužine 3 - 6 cm

Drveni vijak dugi 12 - 2,5 cm

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Granični prekidač 4- ovi prekidači će djelovati kao sistem za mjerenje vremena

Pritisnite dugme

LCD displej

Jumpwire x many

Ukupni trošak modela iznosio je oko 30 USD

Korak 5: 3D štampanje

Nekoliko dijelova, poput mehanizma za otpuštanje i kontrolne kutije, napravljeno je uz pomoć 3D štampača. Sljedeća lista sadrži ukupan broj dijelova i njihove specifikacije za štampanje. Sve STL datoteke nalaze se u gore priloženoj fascikli, dopuštajući im da izvrše potrebne izmjene ako je potrebno.

Kontrolna kutija x 1, ispuna 20%

Vodič x 6, 30% ispune

End Stop x 1, 20% ispune

Okretni krak x 1, ispuna 20%

Okretni nosač x 1, 30% ispune

Komad za otpuštanje x 1, 20% ispune

Dijelovi su štampani u PLA jer nema posebnog naprezanja na komade. Ukupno je trebalo oko 40 sati štampanja.

Korak 6: Lasersko rezanje staza

Različiti putevi koje smo dizajnirali na fusion 360 izvezeni su kao.dxf datoteke, a zatim laserski izrezani. Za krivulje smo odabrali neprozirni bijeli akril debljine 3 mm. Može se čak napraviti i od drveta ručnim alatom, ali važno je osigurati da je odabrani materijal krut jer fleksibilnost može utjecati na to kako se kuglice kotrljaju.

6 x Brachistochrone krivulja

2 x Strma krivina

2 x Ravna krivulja

Korak 7: Rezanje drva

Okvir modela izrađen je od drveta. Odabrali smo bor veličine 1 x 4 cm jer nam je preostalo nešto iz prethodnog projekta, iako se može koristiti drvo po njihovom izboru. Kružnom pilom i vodilicom režemo dva komada drva po dužini:

48 cm što je dužina staze

To je visina 31 cm

Očistili smo grube rubove laganim brušenjem na brusilici.

Korak 8: Bušenje rupa

Prije spajanja dva komada, označite debljinu drveta na jednom kraju donjeg dijela i centrirajte tri jednake rupe. Koristili smo bit od 5 mm za stvaranje probne rupe na oba komada drveta i probušili rupu na donjem dijelu kako bismo omogućili da glava vijka bude u ravnini.

Napomena: Pazite da ne razdvojite okomiti komad drveta jer ćete bušiti u krajnje zrno. Upotrijebite i dugačke vijke za drvo jer je važno da se okvir ne trese, a gornji dio zbog poluge.

Korak 9: Ugradite hladnjake i magnete

Kako se niti u 3D štampanim dijelovima vremenom istroše, odlučili smo ugraditi hladnjake. Rupe su malo premale kako bi rashladni element bolje prianjao uz plastiku. Preko rupa smo postavili hladnjake M3 i gurnuli ih unutra vrhom lemilice. Vrućina topi plastiku, puštajući zube da se zaglave. Uvjerite se da su u ravnini s površinom i da su ušli okomito. Ukupno postoji 8 mjesta za umetke s navojem: 4 za poklopac i 4 za postavljanje Arduino Uno.

Kako bismo olakšali montažu vremenske jedinice, ugradili smo magnete u kutiju, što olakšava odvajanje ako su ikada potrebne promjene. Magneti moraju biti orijentirani u istom smjeru prije nego što se gurnu na mjesto.s

Korak 10: Priključivanje graničnih sklopki

Tri krajnja prekidača pričvršćena su na jednu stranu vremenske jedinice koja gleda prema dnu staza. Tako, dok kuglice kliknu na prekidače, može se odrediti koja je lopta prva stigla i prikazati vrijeme na LCD ekranu. Lemite male trake žice na stezaljke i učvrstite ih u utore mrljom CA ljepila jer se ne smiju olabaviti nakon neprekidnih udaraca.

Korak 11: LCD ekran

Poklopac jedinice za mjerenje vremena ima pravokutni izrez za LCD ekran i otvor za dugme "start". Displej smo učvrstili mrljama vrućeg ljepila dok se nije poravnao s površinom poklopca i učvrstili crveno dugme sa pričvrsnom navrtkom.

Korak 12: Ožičenje elektronike

Ožičenje se sastoji od povezivanja različitih komponenti u desne pinove na Arduinu. Slijedite gornji dijagram ožičenja za postavljanje kutije.

Korak 13: Učitavanje koda

Arduino kôd za projekat brahistohrona možete pronaći u prilogu ispod. U odjeljku za elektroniku postoje dva otvora za lak pristup Arduino programskom portu i priključku za napajanje.

Crveno dugme koje je pričvršćeno na vrhu okvira koristi se za pokretanje mjerača vremena. Nakon što se klikeri spuste niz krivulje i aktiviraju krajnje prekidače, koji su postavljeni pri dnu, vrijeme se uzastopno bilježi. Nakon što sve tri loptice pogode, LCD ekran prikazuje rezultate, poravnate sa odgovarajućim krivinama (slike su priložene gore). Nakon što zabilježite rezultate u slučaju da je potrebno drugo očitanje, jednostavno ponovo pritisnite glavno dugme za osvježavanje mjerača vremena i ponovite isti postupak.

Korak 14: Vodiči za 3D štampanje

Vodiči koji su 3D štampani imali su materijalnu bazu od 3 mm prije početka nosećih zidova. Stoga bi, kad bi se akrilne ploče postavile na mjesto, postojao jaz između ploče i drvenog okvira, smanjujući postojanost putanje.

Stoga je vodič trebao biti ugrađen za 3 mm u drvo. Kako nismo imali usmjerivač, odnijeli smo ga u lokalnu radionicu i obavili na glodalici. Nakon malo brušenja otisci su dobro prianjali i mogli smo ih pričvrstiti sa strane drvenim vijcima. Gore je priložen predložak za postavljanje 6 vodilica na drveni okvir.

Korak 15: Dodavanje graničnika i jedinice za mjerenje vremena

Budući da je vremenski modul bio zaseban sistem, odlučili smo napraviti sistem za brzu montažu i odvajanje pomoću magneta. Na ovaj način se lako može programirati, a jednostavno izvaditi jedinicu. Umjesto da napravimo predložak za prijenos položaja magneta koji trebaju biti ugrađeni u drvo, jednostavno smo ih pustili da se spoje s onima na kutiji, a zatim stavili malo ljepila i postavili kutiju na komad drveta. Tragovi ljepila su se prenijeli na drvo, omogućavajući nam da brzo izbušimo rupe na tačnim mjestima. Na kraju pričvrstite 3D ispisani čep i jedinica za mjerenje vremena trebala bi se čvrsto prianjati, ali se može odvojiti laganim povlačenjem

Korak 16: Mehanizam otpuštanja

Mehanizam otpuštanja je jednostavan. Pomoću matice i vijka čvrsto spojite C -dio s okretnom polugom, čineći ih jednim sigurnim dijelom. Zatim izbušite dvije rupe u sredini okomitog drva i pričvrstite nosač. Gurnite okretnu osovinu i mehanizam je gotov.

Korak 17: Eksperiment

Sada kada je model spreman, možete napraviti sljedeće eksperimente

Eksperiment 1

Pažljivo gurnite akrilne ploče ravne staze, brahistohrone krivulje i strme staze (ovim redoslijedom za najbolji učinak). Zatim povucite zasun prema gore i postavite tri kuglice na vrh zavoja pazeći da su savršeno poravnane jedna s drugom. Čvrsto ih držite sa zasunom prema dolje. Neka jedan učenik otpusti loptice, a drugi pritisne crveno dugme za pokretanje mjerenja vremena. Na kraju promatrajte kako se loptice kotrljaju niz putanju i analizirajte rezultate prikazane na modulu za mjerenje vremena. Postavljanje kamere za snimanje usporenih snimaka još je uzbudljivije jer se može vidjeti utrka po kadar.

Eksperiment 2

Kao i prethodni eksperiment, klizite u akrilnim pločama, ali ovaj put sve staze trebaju biti brahistonkronska krivulja. Pažljivo zamolite učenika da ovaj put drži tri loptice na različitim visinama i pritisne crveno dugme dok se kugle oslobađaju. Gledajte zapanjujući trenutak dok se loptice savršeno slažu prije cilja i potvrdite zapažanja rezultatima.

Korak 18: Zaključak

Izrada modela brahistohrona praktičan je način da se sagledaju magični načini na koje nauka funkcionira. Ne samo da je eksperimente zabavno gledati i privući, već nudi i sintezu aspekata učenja. Iako je prvenstveno projekt namijenjen srednjoškolcima, praktično i teoretski, ovu demonstraciju lako može shvatiti mlađa djeca i mogla bi ga prikazati kao pojednostavljenu prezentaciju.

Željeli bismo ohrabriti ljude da stvaraju stvari, bilo uspjeh ili neuspjeh, jer na kraju dana STEM je uvijek zabavan! Sretno stvaranje!

Ostavite glas na takmičenju za učionicu ako vam se svidjelo uputstvo i ostavite povratne informacije u odjeljku za komentare.

Velika nagrada na takmičenju u učionici